📐 Guía Práctica: Eje de Geometría
Desde calcular el área de una figura hasta aplicar el Teorema de Pitágoras, esta guía te ayudará a visualizar y resolver problemas geométricos.
El Mundo de las Formas y Medidas
La geometría es la rama de la matemática que estudia las propiedades de las figuras en el plano y en el espacio. Aquí practicarás cómo calcular sus medidas y entender sus relaciones.
Tema: Geometría Plana (2D)
1. Un jardín rectangular de 10 metros de largo por 6 metros de ancho tiene un camino de 1 metro de ancho que lo rodea por fuera. ¿Cuál es el área del camino?
A) 36 m²
B) 60 m²
C) 96 m²
D) 32 m²
Respuesta Correcta: A) 36 m²
Paso 1: Calcular las dimensiones del rectángulo grande (jardín + camino). El camino añade 1 metro a cada lado, por lo que se suman 2 metros al largo y 2 al ancho.
Largo_Total = 10 + 2 = 12 m
Ancho_Total = 6 + 2 = 8 m
Paso 2: Calcular el área total y el área del jardín.
Área_Total = 12 * 8 = 96 m²
Área_Jardín = 10 * 6 = 60 m²
Paso 3: Restar las áreas para encontrar el área del camino.Área_Camino = 96 - 60 = 36 m²
2. Una escalera de 5 metros de largo está apoyada contra una pared. La base de la escalera está a 3 metros de la base de la pared. ¿A qué altura de la pared llega la escalera?
A) 2 metros
B) 4 metros
C) 8 metros
D) √34 metros
Respuesta Correcta: B) 4 metros
La escalera, la pared y el suelo forman un triángulo rectángulo. La escalera es la hipotenusa (c=5) y la distancia al muro es un cateto (b=3). Buscamos el otro cateto (a).
Paso 1: Aplicar el Teorema de Pitágoras: a² + b² = c².
Paso 2: Reemplazar y resolver.a² + 3² = 5²a² + 9 = 25a² = 25 - 9 = 16a = √16 = 4
La escalera llega a una altura de 4 metros.
3. La sombra de un poste de 6 metros de altura mide 4 metros. A la misma hora, ¿cuánto mide la sombra de una persona de 1,80 metros de altura?
A) 1,2 metros
B) 1,5 metros
C) 2,7 metros
D) 0,8 metros
Respuesta Correcta: A) 1,2 metros
Este es un problema de semejanza de triángulos (Teorema de Thales). Planteamos la proporción entre las alturas y las sombras.
(Altura_Poste / Sombra_Poste) = (Altura_Persona / Sombra_Persona)
Reemplazando: 6 / 4 = 1.80 / x
Despejando x: x = (4 * 1.80) / 6 = 7.2 / 6 = 1.2. La sombra de la persona mide 1,2 metros.
4. ¿Cuál es el perímetro (o longitud) de una circunferencia cuyo radio es de 5 cm? (Considera π ≈ 3,14)
A) 15,7 cm
B) 31,4 cm
C) 78,5 cm
D) 10 cm
Respuesta Correcta: B) 31,4 cm
La fórmula para calcular el perímetro de una circunferencia es P = 2 ⋅ π ⋅ r.
Paso 1: Reemplazar los valores dados en la fórmula (r=5, π≈3,14).
P = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 5
Paso 2: Resolver la operación.P = 10 ⋅ 3,14 = 31,4
El perímetro de la circunferencia es 31,4 cm.
Tema: Geometría del Espacio (3D) y Cartesiana
5. ¿Cuál es el volumen de un tarro de conservas cilíndrico de 10 cm de altura y 4 cm de radio? (Considera π ≈ 3)
A) 120 cm³
B) 240 cm³
C) 480 cm³
D) 60 cm³
Respuesta Correcta: C) 480 cm³
La fórmula del volumen de un cilindro es V = π ⋅ r² ⋅ h.
Paso 1: Reemplazar los valores dados en la fórmula.
V = 3 ⋅ (4)² ⋅ 10
Paso 2: Resolver la operación.
V = 3 ⋅ 16 ⋅ 10 = 480. El volumen es de 480 cm³.
6. Un punto P(5, -2) se traslada según el vector v(-3, 6). ¿Cuáles son las coordenadas del punto trasladado P'?
A) (8, -8)
B) (-15, -12)
C) (2, 4)
D) (-2, -4)
Respuesta Correcta: C) (2, 4)
Para trasladar un punto, se suman las coordenadas del punto con las del vector.
Coordenada X': 5 + (-3) = 2
Coordenada Y': -2 + 6 = 4
Las nuevas coordenadas son (2, 4).
7. ¿Cuál es el volumen de un cono de 10 cm de altura y cuyo radio basal es de 3 cm? (Considera π ≈ 3)
A) 30 cm³
B) 90 cm³
C) 270 cm³
D) 45 cm³
Respuesta Correcta: B) 90 cm³
La fórmula del volumen de un cono es V = (1/3) ⋅ π ⋅ r² ⋅ h.
Paso 1: Reemplazar los valores: r=3, h=10, π≈3.
V = (1/3) ⋅ 3 ⋅ (3)² ⋅ 10
Paso 2: Resolver la operación.V = 1 ⋅ 9 ⋅ 10 = 90
El volumen del cono es 90 cm³.
8. ¿Cuál es la distancia entre los puntos A(1, 2) y B(4, 6) en el plano cartesiano?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 7
Respuesta Correcta: C) 5
Se utiliza la fórmula de la distancia entre dos puntos: d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²].
Paso 1: Identificar coordenadas: x₁=1, y₁=2, x₂=4, y₂=6.
Paso 2: Reemplazar en la fórmula.d = √[(4 - 1)² + (6 - 2)²]
Paso 3: Resolver.d = √[3² + 4²] = √[9 + 16] = √25 = 5
La distancia entre los puntos es 5 unidades.
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