f(x) Guía Práctica: Álgebra y Funciones
Desde despejar 'x' hasta interpretar funciones, esta guía te ayudará a fortalecer tus habilidades algebraicas con ejercicios prácticos.
¿Por qué es importante el Álgebra?
El álgebra es el lenguaje que usamos para describir relaciones y resolver problemas con incógnitas. Dominar sus herramientas, como las ecuaciones y funciones, es esencial para entender el mundo a través de la matemática.
Estos ejercicios están diseñados para que practiques las habilidades más comunes y fundamentales de este eje temático.
Tema: Expresiones Algebraicas
1. ¿Cuál es el resultado de (2x - 3)²?
A) 4x² - 9
B) 4x² - 12x + 9
C) 2x² - 12x + 9
D) 4x² + 9
Respuesta Correcta: B) 4x² - 12x + 9
Esto es un cuadrado de binomio, cuya fórmula es (a - b)² = a² - 2ab + b².
Paso 1: Identificar 'a' y 'b'. En este caso, a = 2x y b = 3.
Paso 2: Aplicar la fórmula.(2x)² - 2(2x)(3) + (3)² = 4x² - 12x + 9
2. Al factorizar la expresión x² - 81, se obtiene:
A) (x - 9)²
B) (x + 9)²
C) (x - 9)(x + 9)
D) x(x - 81)
Respuesta Correcta: C) (x - 9)(x + 9)
La expresión es una suma por su diferencia, cuya fórmula es a² - b² = (a - b)(a + b).
Paso 1: Encontrar las raíces cuadradas de cada término. √x² = x y √81 = 9.
Paso 2: Aplicar la fórmula con estos valores: (x - 9)(x + 9).
3. Al simplificar la expresión (x² + 5x + 6) / (x + 2), se obtiene:
A) x + 3
B) x + 5
C) x - 3
D) x + 6
Respuesta Correcta: A) x + 3
Paso 1: Factorizar el trinomio del numerador x² + 5x + 6. Buscamos dos números que multiplicados den 6 y sumados den 5. Esos números son 2 y 3.
El trinomio factorizado es (x + 2)(x + 3).
Paso 2: Reemplazar en la fracción original: [(x + 2)(x + 3)] / (x + 2).
Paso 3: Cancelar el término común (x + 2) en el numerador y denominador. El resultado es x + 3, considerando que x ≠ -2.
Tema: Ecuaciones y Funciones
4. La suma de dos números es 21 y su diferencia es 5. ¿Cuál es el número mayor?
A) 8
B) 11
C) 13
D) 16
Respuesta Correcta: C) 13
Paso 1: Plantear un sistema de ecuaciones, donde 'x' es el número mayor e 'y' el menor.
1) x + y = 21
2) x - y = 5
Paso 2: Resolver por el método de reducción. Sumando ambas ecuaciones, la 'y' se cancela.(x + y) + (x - y) = 21 + 52x = 26 → x = 13
El número mayor es 13. (El menor sería y = 21 - 13 = 8).
5. ¿Cuál es la pendiente de la recta descrita por la función f(x) = 5x - 2?
A) 5
B) -2
C) 2
D) -5
Respuesta Correcta: A) 5
En una función lineal de la forma y = mx + b, la pendiente está representada por el coeficiente 'm', que es el número que multiplica a 'x'.
En la función f(x) = 5x - 2, el número que multiplica a 'x' es 5. Por lo tanto, la pendiente es 5.
6. ¿Cuál es el vértice de la parábola representada por la función f(x) = (x - 3)² + 4?
A) (-3, 4)
B) (3, -4)
C) (3, 4)
D) (-3, -4)
Respuesta Correcta: C) (3, 4)
La función está en su forma canónica: f(x) = a(x - h)² + k, donde el vértice es el punto (h, k).
Comparando con f(x) = (x - 3)² + 4, vemos que h = 3 y k = 4.
El vértice de la parábola es (3, 4).
7. Si f(x) = 3x² - 2x + 1, ¿cuál es el valor de f(-2)?
A) -15
B) 9
C) 17
D) -7
Respuesta Correcta: C) 17
Evaluar f(-2) significa reemplazar cada 'x' en la función por el valor -2.
Paso 1: Sustituir x por -2.f(-2) = 3(-2)² - 2(-2) + 1
Paso 2: Resolver las operaciones respetando el orden (potencias, multiplicación, suma).f(-2) = 3(4) - (-4) + 1f(-2) = 12 + 4 + 1 = 17
8. ¿Cuáles son las soluciones (o raíces) de la ecuación cuadrática x² - 3x - 10 = 0?
A) x=5, x=2
B) x=-5, x=-2
C) x=5, x=-2
D) x=10, x=-1
Respuesta Correcta: C) x=5, x=-2
Podemos resolver esta ecuación factorizando el trinomio.
Paso 1: Buscar dos números que multiplicados den -10 y sumados den -3. Estos números son -5 y 2.
Paso 2: Escribir la ecuación factorizada.(x - 5)(x + 2) = 0
Paso 3: Para que el producto sea cero, uno de los factores debe ser cero. Igualamos cada factor a cero para encontrar las soluciones.x - 5 = 0 → x = 5x + 2 = 0 → x = -2
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